Математика на грамматическом этапе обучения

Как изучать с ребёнком математику? Совершенно справедливо считается, что достоинства и недостатки того или иного метода обучения становятся очевидными в тот момент, когда очередь доходит до математики. Недостатки и просчеты методики, нечеткие в иных случаях, тут становятся видны, как на ладони. Это правило работает в случае домашнего обучения: так, одним из главных доводов против хоумскулинга является теоретическая невозможность самостоятельного изучения математики в домашних условиях без помощи репетитора. Родители готовы поверить, хотя и со скрипом, что можно самостоятельно справиться с обучением ребенка чтению или письму – но только не математике. Последняя остается для большинства сакральным знанием, доступным лишь высоколобым посвященным.

Это, конечно, не так. Математикой в объеме курса младшей школы способен овладеть каждый – ведь требования школьной программы в области ЗУН по этому предмету весьма и весьма умеренны («Стандарт начального общего образования по математике»). Другое дело, что очень немногие этого хотят. И что-то куда большее, чем простая рутина и обычная лень, скрывается в этом нежелании. Чем же можно объяснить этот малообъяснимый иррациональный страх множества вполне взрослых людей перед начальным курсом математики? Только одним – тем, что им самим математику когда-то преподавали из рук вон плохо, и их абстрактное мышление развито не в достаточной мере для того, чтобы свободно воспринимать и передавать другим положения основных математических концепций. Правда, многих это не очень-то волнует, поскольку большинству наших современников без математики живется прекрасно – однако не стоит брать с них пример. Математика важна для нас не только и не столько тем, что позволяет сосчитать сдачу в магазине или измерить площадь пола в комнате и рассчитать объема емкости лака для покраски (на калькуляторе выполнить те же вычисления куда легче). Подлинное значение математики для истории человеческой культуры и цивилизации заключается в том, что только с ее помощью возможно осуществить последовательное развитие абстрактного мышления.

Что такое абстрактное мышление и зачем оно нужно?

По определению Аристотеля, переведенного на латынь Боэцием, абстра́кция (от лат. abstractio — «отвлечение») — мысленное отвлечение, обособление от тех или иных сторон, свойств или связей предметов или явлений для выделения существенных признаков. Естественное, предметное, конкретное мышление ребенка в первые годы его жизни чуждо абстракции. Маленький ребенок не может без посторонней помощи отвлечься от конкретики чувственно познаваемых вещей. В каждом малыше живет Буратино, который на простейшую задачку Мальвины о том, сколько останется у него яблок, если некто возьмет одно из них, уверенно отвечает: «два – потому что я не отдам Некту яблоко, хоть он дерись!»

Такие рассуждения вполне естественны для мышления ребенка первых семи лет жизни. Дети восходят к абстрактному мышлению поступенчато – через уровни конкретного, конкретного абстрактного, абстрактного конкретного мышления. Научить малыша видеть в каждом реальном предмете в его торжествующей, уверенной в себе неповторимой воплощенности недоступный для чувственного восприятия символ весьма непросто. Взрослые, обладающие значительно более высоким уровнем абстрактного мышления, не должны жалеть сил для того, чтобы научить ребенка видеть не только предметы – но и стоящие за ними или даже образующие их числа, не только образы — но и основные геометрические фигуры, не только события – а числовые последовательности и множества, образующие невидимые глазу ритмы.

В современном обществе необходимость такого рода знаний у детей младшего возраста не является более очевидной. И родителям, и многим учителям кажется, что детей слишком нагружают абстракциями, что их мозг высушивают, что тупая рутина однообразных арифметических действий душит в них творческое начало. Сегодня сомневаться в необходимости умения производить основные арифметические вычисления считается признаком педагогической продвинутости: о ненужности заучивания таблицы умножения, алгоритмов вычислений и правил решения задач считают естественным рассуждать общепризнанные методисты. Главным в курсе математики при таком подходе оказывается не усвоение традиционной методики выполнения арифметических действий с числами, направленной на поступенчатое восхождение на все более высокие уровни абстракции, а развитие нестандартного, творческого мышления, находчивости и смекалки.

Многим родителям, предубежденно относящимся к традиционному методу изучения математики, такой подход кажется весьма привлекательным – он позволяет «и съесть пирожок, и оставить его целым», то есть «ознакомиться» с продвинутыми математическими концепциями без скучного и надоедливого штудирования азов. В самом деле, мало кто из родителей в здравом уме и твердой памяти откажется от развития смекалки и оригинальности мышления своего ребенка в пользу утомительной зубрежки и долбежки. При этом мало кому приходит в голову, что для того, чтобы ребенок начал мыслить нестандартно, он сперва должен усвоить стандарт; что основой оригинальности является норма; что для находчивости требуется понимание того, что, где и каким образом требуется найти. И любому трезво мыслящему человеку, мало-мальски разбирающемуся в математике очевидно, что ни один ребенок, самый одаренный от природы, не уедет далеко на одном умении интуитивно схватывать идею – для того, чтобы по-настоящему научиться абстрактно мыслить, ему потребуется интенсивный тренинг, который заключается как раз в постоянном решении типовых примеров и задач постепенно возрастающего уровня сложности. Умение отрешиться от частностей и пестроты уникальных и однообразных событий вырабатывается проработкой многообразных вариантов математических примеров и задач – абстрактных моделей конкретных жизненных событий. Развитие абстрактного мышления выводит ребенка с уровня отдельных разрозненных действий на уровень моделей и систем – а этот уровень совершенно необходим ребенку для того, чтобы он смог по-настоящему стать взрослым. Недаром одним из типичных проявлений взрослости является умение планировать свои и чужие действия и моделировать различные аспекты реальности. Вы спросите меня, какая существует связь между этими высокими умениями и рутинным навыком быстрого счета в уме? Ответ очевиден – без второго первого не бывает. Все великие цивилизации древности и современности выросли из базовых математических концепций, лежащих в основе той или иной культуры со свойственными только ей восприятиями пространства, времени и числа.

Математика для родителей

В этом разделе я не буду оригинальна и повторю тот же тезис, который уже не раз приводился в статьях о домашнем обучении: чтобы помочь ребенку изучить математику, родители должны сами разбираться в ней – хотя бы на уровне начального курса арифметики. На самом деле, это вполне реально и доступно даже самым отъявленным правополушарным гуманитариям. Я не стала бы делать столь серьезных заявлений, если бы сама не была таковым и не сделала бы это, когда оказалась «приперта к стенке» необходимостью. И теперь готова поделиться с мамами и папами домашних детей своими секретами приобщения к математике через 30 лет после окончания начальной школы.

1. Представьте себе весь курс начальной школы в целом

Это было первый шаг, который я заставила себя сделать, преодолев свое естественное отвращение к царице всех наук. И, как оказалось, имея в голове целостную картинку полного курса арифметики, куда проще чувствовать себя свободно: зная, какие темы входят в курс, можно с легкостью «отрываться» от учебника, комбинировать задания, забегать вперед и возвращаться обратно – по спирали, на новом уровне – в общем, вести себя вполне раскрепощено, а не быть бесправным рабом программы и рекомендованного учебным заведением учебника.

Разумеется, представить себе весь курс начальной школы по учебнику одного класса невозможно. Для этого нужно иметь под рукой или хотя бы ознакомиться с полным комплектом учебников с 1 по 4 класс +обобщающий материал за 5 и 6 класс. Проще всего это сделать в книжном магазине типа «Буквоеда», в который можно прийти, выбрав время, и спокойно посидеть над стопкой книг за чашкой кофе и пирожным. Лично я так и всегда и поступаю.

Для чего я рекомендую родителям младшеклассников познакомиться с курсом первых двух классов средней школы? Потому что учебники младших классов являются, как правило, почти исключительно задачниками и теории почти не содержат: предполагается, что все объяснения ребенок получает в классе от учителя. Поэтому многие родители чувствуют себя весьма неуютно над учебником математики любого уровня сложности: понятно, что 2+2=4, только как объяснить это ребенку, чтобы он понял? Многих проблем можно было бы избежать, если бы родители детей младших классов знали, что жизненно необходимая им теория и пошаговые объяснения последовательности действий содержатся как раз в учебниках математики 5-6 классов. Практически любой учебник математики за эти два класса содержит в себе обобщающий материал по всему курсу арифметики, включая такие темы, как:

— натуральный ряд чисел; предмет и число;

— 4 действия с натуральными числами: сложение, вычитание, умножение и деление;

— уравнения и неравенства;

— доли и дроби;

— измерения величин;

— решение задач.

2. Повторите теоретический материал

Проще всего это сделать, используя учебники математики за 5-6 класс. Классическими в этом отношении всегда считались учебники Н. Я. Виленкина, которые особенно любят учителя математических спецшкол. Помимо Виленкина, я хотела бы порекомендовать удачно культурологически выстроенный учебник «Арифметики» за 5 и 6 классы С. М. Никольского и М. К. Потапова (http://www.my-shop.ru/shop/set/368/sort/a/page/1.html), в котором каждая глава заканчивается разделами «Исторические сведения» и «Занимательные задачи». Кроме того, очень толково изложена теория начального курса математики в «Справочнике для начальной школы» Н. Абельской (http://www.bookvoed.ru/searching_for_shop.php?tovar=197651&detail

книга уже рекомендовалась в связи с изучением грамматики русского языка).

Что касается тех, кто хотел бы изучить материал более последовательно и глубоко, чем это изложено в учебниках, но без излишней специализации, которая отбивает у профанов желание читать специальную математическую литературу (что, увы, произошло со мной при попытке привлечь для изучения замечательный фундаментальный справочник «Математика» из серии «Энциклопедия для детей» издательства Аванта+, настоящей находкой будет теоретический курс Н. С. Шевченко «Арифметика. 5-6 класс». Дополнительным преимуществом этого курса над всеми остальными является то, что он включает в себя не только 4 классических действия с целыми числами, но и с дробями – как обыкновенными, так и десятичными, а также проценты, пропорции и задачи геометрического содержания, включая вычисления площади круга – проблемы, заканчивающей античный курс математики. И, наконец, специально для тех, кто желал бы продолжить и углубить свое самообразование в области математики, существует замечательный сайт «Интернет-библиотека по математике». Здесь все желающие легко смогут подобрать себе литературу по вкусу.

Ну, а тем, кому никак не «раскачаться» на серьезный теоретический курс, помогут войти во вкус замечательные занимательно-математические повести А. В. Левшина «Три дня в Карликлани», «Магистр рассеянных наук» и «В поисках похищенной марки». Эти три книги, недавно переизданные Издательским Домом Мещерякова, в комплекте с не переиздававшейся с 1965 года «Черной маской из Аль-Джебры», популяризирующей алгебраические концепции, способны пробудить горячий интерес к математике у самых отъявленных гуманитариев. Пожалуй, книги Левшина без преувеличения можно назвать самым занимательным и мягким, и при этом – корректным и строгим изложением многих понятий математики. Поэтому от всей души рекомендую их тем, кто все еще продолжает считать математику изнурительно скучной.

И, конечно же, родителям домашних детей следует прочесть книгу А. К. Звонкина «Малыши и математика». Эта книга профессора математики, описавшего свои наблюдения над развитием дошкольников, посещавших его математический кружек, наверняка будет полезной всем, кто готовится самостоятельно преподавать своему ребенку математику.

3. Познакомьтесь с разными задачниками и потренируйтесь в решении задач

Ну, а кроме теории, родителям домашних детей будет весьма полезно познакомиться с различными нестандартными задачниками по арифметике, которые позволят разнообразить и расцветить ваши уроки по математике. Очень интересные примеры таких задачников представлены на моем любимом сайте «Старые учебники», в разделе «Арифметика». Среди выложенных на сайте арифметических задачников хотелось бы особенно порекомендовать замечательный задачник И. Верещагина 1908 г. издания. Его особенность заключается в непосредственном приложении теоретического материала по математике к материалам других наук, что весьма способствует как наилучшему усвоению математических концепций, так и повторению материалов других дисциплин. Использовать этот задачник, правда, стоит не раньше конца второго — начала третьего года обучения – до того у ребенка просто еще не будет накоплен достаточный объем знаний для построения связей между дисциплинами. Ну, а до тех пор, пока ребенок не набрал достаточного интеллектуального багажа, ему наверняка будут интересно порешать задачки Г. Остера из его «Ненаглядного пособия по математике». Единственное, о чем стоит помнить – что такие занимательные задачи не могут составлять основу курса математики. Самые остроумные задания теряют свою привлекательность и остроту, если их использовать слишком часто.

Математика для детей

Итак, предположим, что вы воспользовались приведенными выше советами и ваши познания в области математики существенно углубились. Теперь осталось только применить их на практике и передать ребенку. Как это сделать?

Поступенчато. Необходимо понимать, что мышление ребенка развивается постепенно, и далеко не каждый ребенок с пользой для себя перенесет слишком раннее погружение в абстракцию. С другой стороны, не нужно и чересчур долго задерживаться на ранних этапах: нужно все время давать ребенку задачки «на вырост», стимулирующие его мысль к постоянному движению вперед.

1. 1-5:этап конкретного абстрактного мышления

Приступая к обучению своего ребенка основам математики, необходимо понимать, с чего следует начинать. Многие родители сходу начинают учить с 4-5 летним малышом цифры и решать примеры. Да еще и сетуют, что дела идут не очень хорошо. Надо понимать, что в этом возрасте ребенок мыслит исключительно конкретно, для него существуют только чувственно постигаемые предметы, которыми он манипулирует, только знакомые люди, с которыми он взаимодействует, только события, которые произошли с ним самим. Сознание ребенка предельно эгоцентрично: он не в состоянии не только абстрагироваться от конкретики – он не в состоянии перешагнуть за пределы своего восприятия. Поэтому он не может рассуждать о деревьях «вообще», о каких-то абстрактных деревьях — только о конкретном дереве, допустим, из бабушкиного сада, на котором осенью вырастут вкусные яблоки, или о яблоне из сказки про гусей-лебедей, или о клене, который растет перед вашим окном. Ваш ребенок не будет рассуждать о птичках, которые сидели на проводах и из которых несколько улетели, до тех пор, пока не выяснит все про то, какие именно провода имелись в виду – те, которые рядом с домом или те, которые на даче; и о каких птичках идет речь – о виденных накануне ласточках или о синицах, виденных месяц назад, и т.д. и т.п.

Ребенок на конкретном этапе мышления живет еще вне времени и пространства – долго ли, коротко ли, в некотором царстве, некотором государстве – он не знает, сколько конкретно и где именно. Первые шаги в мире абстракции должны совершаться в чувственно постигаемом мире и должны помочь ребенку сориентироваться в окружающем его времени и пространстве. Для этого следует последовательно прорабатывать в применении к конкретным реальным предметам и жизненным ситуациям следующие математические представления:

— величина (больше-меньше, дальше-ближе, тяжелее-легче, выше-ниже, сильнее-слабее, тише-громче и т.д. и т.п.);

— геометрические фигуры (прямоугольник, круг, треугольник и, далее – куб, цилиндр, пирамида);

— ориентация в пространстве (спереди – сзади, вперед-назад, левый-правый, налево-направо, вверх-вниз, верхний-нижний, далеко-близко, далекий-близкий);

— ориентация во времени (утро, день, вечер, ночь, распорядок дня; сегодня, завтра, вчера, дни недели, времена года, двенадцать месяцев);

— количество (один-много, счет конкретных предметов в пределах одного десятка).

Всеми этими представлениями ребенок первых лет жизни овладевает в ходе овладения бытовой практикой и ритуалом в ходе повседневного общения со взрослыми. Для этого, как правило, не требуется специальных занятий: если с ребенком регулярно общаться, он усваивает эти понятия интуитивно, на лету.

Для развития математических способностей детей этого возраста существует обширная литература. Содержание этих книг примерно одинаково, но большинство из них ориентированы на работу в тетради. В отличие от них, в книгах известного методиста дошкольного воспитания Т. И. Ерофеевой акцент делается на устном диалоге ребенка и взрослого и дидактической игре. Если родители не чувствуют себя уверенно, книги «Как дошкольнику подружиться с математикой: Книга для родителей», «Математические сказки», «Дневник математических достижений», и другие книги этого автора помогут им четче структурировать работу с мышлением ребенка первых пяти лет жизни.

2. 5-6: этап абстрактного конкретного мышления.

На этом этапе ребенок уже готов перейти от чувственных ощущений и конкретных образов к символам и моделям. На этом этапе ребенок способен овладеть такими математическими понятиями, как:

— цифра и число,

— единицы измерения пространства и времени.

А это значит, что от изучения абстрактных свойств конкретных предметов и явлений, окружающих ребенка, ему следует перейти к изучению самых простых и конкретных в своей простоте абстракций, каковыми и являются числа натурального ряда, а также простейшие измерения

В этом возрасте ребенок должен научиться не только пересчитывать конкретные предметы, но обозначать их количество абстрактными цифрами. В возрасте от 5 лет и дальше ребенок уже в состоянии различать между собой числа и цифры – так же, как при чтении и на письме он уже может различать буквы и звуки. А это значит, что от счета конкретных предметов ребенок может переходить к абстрактным действиям с числами, обозначающими их количество.

Как этого добиться? Довольно просто: на этом этапе нужно через игру и совместные действия приучить ребенка постоянно пересчитывать все предметы, которые попадаются ему на глаза. Кроме того, для ребенка этого возраста очень полезными подарками будут рулетка, емкость с делениями, безмен, термометр, наручные часы: при помощи всех этих нехитрых инструментов он сможет самостоятельно измерять величины окружающих его предметов, объемы жидких и сыпучих продуктов, показания температур и времени.

Практические и дидактические рекомендации относительно того, как организовать эту познавательную деятельность, содержатся в книжке Кристин Дин «Поиграем в математику» из серии «Научные развлечения для самых маленьких». Здесь перечислены и подробно описаны основные виды математически ориентированных видов деятельности для детей этого возраста – от подвижных игр и составления разнообразных шифров до выпечки печенья. Все эти занятия по-прежнему привязаны к конкретике жизни ребенка, однако эта конкретика начинает обретать символическое выражение – посредством изученных чисел и величин, которые специальным образом фиксируются при помощи цифр.

3. 7-10: этап продвижения абстрактного конкретного и конкретного абстрактного мышления ребенка в сторону все большей абстракции.

Итак, выше мы рассмотрели, через какие этапы развития мышления должен пройти ребенок до начала систематического обучения математике. Что же меняется в его жизни по достижении семилетнего возраста?

Только одно: отныне его занятия математикой – не только игра и происходят не только по его желанию. Теперь математика станет обязательным элементом его рабочего дня; и только продолжительность урока должна меняться с возрастом – от 25-30 минут в первом классе до 45 в четвертом.

Как следует проводить урок и математики с детьми на грамматическом этапе? Многие родители считают, что главным образом это зависит от учебника и сопутствующей ему методики. Основными учебниками, используемыми в современных российских школах, являются классические курсы М. И. Моро и Л. Г. Петерсон. Кроме того, в ряде школ используются учебники Н. Б. Истоминой, Б. П. Гейдмана, которые сочетают достоинства и недостатки первых двух авторов, о которых мы далее поговорим подробно. Однако перед этим я хотела бы отдельно подчеркнуть, что именно изучение математики в младших классах в особенной степени превратилось в современной школе в доходный бизнес. Почти каждый автор считает нормальным делать на год комплект из двух учебников и минимум двух рабочих тетрадей (не считая сборников самостоятельных и контрольных работ, тестов и методических материалов для родителей и учителей). Каждый такой комплект стоит порядка тысячи рублей и более (если покупать всю рекомендованную для данного класса литературу). Я же считаю подобное вложение средств весьма неразумным. Во всяком случае, на покупке рабочих тетрадей к учебникам точно можно сэкономить: все примеры и задачи можно (а я считаю, что и нужно!) прекрасно решать по старинке, в тетради в клеточку за несколько рублей — это и дешевле, и на порядок полезнее, чем вписывать ответы в пустые клеточки прописей.

Добрый старый Моро

Учебник математики для 4-х летней школы коллектива авторов под редакцией М.И. Моро — один из долгожителей на российском рынке образовательной литературы. И по сей день по этому учебнику изучают математику не менее 50% российских школьников.

Отличие подхода данного коллектива – в том, что математические концепции преподаются детям медленно и постепенно. Даже так: оооочень медленно и ооочень постепенно.

К примеру, весь 1-й класс дети учатся складывать и вычитать числа в пределах первых двух десятков. А еще изучают таблицы сложения и вычитания (совершенно неясно, для чего).

Весь 2-й класс дети учатся складывать и вычитать числа в пределах ста, а под конец курса осторожно знакомятся с умножением и делением.

В 3-ем классе дело, наконец, доходит до изучения таблицы умножения, вычислений в столбик и простейших измерений геометрических фигур.

В 4-м – все те же действия до тысячи и далее + измерение углов многоугольников.

Очевидно, что авторы учебника составляли его таким образом, чтобы материал мог быть усвоен даже самыми далекими от математики детьми. И, кажется, иначе и быть не может: очевидно, что за 4 года можно научить совершать 4 арифметических действия в пределах 1000, вычислять периметр и площадь геометрических фигур кого угодно, даже не совсем гуманоидного. Между тем это не так, и отстающих по математике по методике Моро ничуть не меньше, чем по более плотным и сложным для понимания методикам. Почему? Очевидно, что из-за предельной элементарности и рутинности курса. Да, конечно, ребенок на уроках по методике Моро никогда не перетрудится – для умственного «перегруза» в этом учебнике просто нет материала. Но, с другой стороны, повторяя из урока в урок одни и те же вычисления, одни и те же задачи с незначительными вариациями, ребенок быстро «засыпает» умом и перестает понимать, что и зачем он делает. Несомненно, что большинство детей, вынесших на всю жизнь мысль о том, что математика – это скука и рутина, учились в начальной школе именно по учебникам Моро. С этим предубеждением они приходят в среднюю школу, и там уже засыпают умом навсегда, если только не встретят случайно талантливого математика, которому удастся преодолеть их предубежденность и показать всю красоту и величие абстракции.

При этом следует подчеркнуть, что курс Моро совершенно адекватно отражает требования государственного стандарта по математике для начальной школы, и тем родителям, которые хотели бы в первую очередь освоить стандарт, стоит ориентироваться именно на этот учебник — только не растягивать материал на 4 года, а пройти его примерно в 1,5-2 раза быстрее. Благо ситуация домашнего обучения этому вполне благоприятствует. А оставшееся время употребить на изучение материала более старших классов – например, дробных чисел и математических действий с ними.

Петерсон, великая и ужасная

Курс математики для начальных классов Л. Г. Петерсон является полной противоположностью курсу Моро. Методика Петерсон относят к разряду «новаторских» — и в самом деле, есть за что. Петерсон излагает элементарные математические концепции не традиционно, то есть не с позиции учителя, чья задача – вложить в головы детей непреложные, раз и навсегда установленные, точные знания, — а с позиции массовика-затейника, задача которого – очаровать детей увлекательным и забавным материалом, увлечь его за собой на поиски свежих мыслей и неожиданных решений. В изложении Петерсон математика перестает быть точной наукой, где 2+2 всегда равно 4. В учебнике Петерсон этот пример может иметь и другие варианты решений. Даже такая элементарная задача, как «за забором 8 лап, сколько кошек скрывается за забором?», для детей, обучающихся по методике Петерсон, имеет более. чем одно решение.

Вот примеры задач из учебников Петерсон для 3-4 классов, ставших камнем преткновения для многих родителей:

«Как разделить 188 на две равные части, чтобы в каждой из них получилось 100?»

«Во 2 «А» 30 учеников, во 2 «Б» на 5 меньше. Сколько учеников во 2 «В»?»»

«Движение точки B по координатному лучу описывается формулой x = 4 + 3 * t (время t – в часах). Из какой точки луча началось движение? В каком направлении и с какой скоростью оно происходило?»

«В мешке лежат яблоки 3 сортов. Какое минимальное число яблок надо взять из мешка не глядя, чтобы:
а) среди них было не менее 2 яблок одного сорта;
б) среди них было хотя бы 5 яблок одного сорта»

«ЧАСТНОЕ ЧАСТО 57

РАЗНОСТЬ РОСТ 2348

СУММА УМ ?»

«Здесь зашифровано стихотворение. Путем перестановки букв в слове и изменения порядка слов в строке расшифруй его:

КООРГМ АНАШ ЧПЕТАЛ ЯТНА
РЛИУНАО ЧКЯИМ УКЧРЕ В
ЕН ШЕИТ НАЧТЕАК ЧАЬПЛ ЧМЯ
ТНТУОЕ ЕН В ЧРЕЕК»

Даже по этим немногим задачам очевидно, что курс Петерсон выходит далеко за пределы государственного стандарта по математике для начальной школы. Собственно, все эти задачи – не столько математические, сколько логические, причем решения этих задач находятся даже не всегда в плоскости традиционной аристотелевой логики. Безусловно, логика и математика взаимосвязанные науки, и вторая базируется на первой, а первая пользуется инструментарием второй. Между тем, при всем сходстве, это все-таки разные предметы, и вводить логические задачи в курс математики без специальных разъяснений довольно-таки рискованно, особенно если учитель не может толком объяснить разницу между способами решениями математических и логических задач. Дело в том, что математика – точная наука, и решения простейших математических задач не могут не быть однозначными, хотя это решение и может быть найдено разными способами. Логика допускает неопределенность в решении некоторых проблем – но ребенок младшего возраста еще не настолько знаком с «азами» обеих наук, чтобы с ходу научиться понимать, где следует искать единственно возможное решение, а где возможен выбор из множества истинных вариантов.

Если отвлечься от конкретики спорных задач, в чем же заключается суть подхода Петерсон?

Автор курса видит свою задачу в том, чтобы «разбудить» мышление ребенка и отправить его в самостоятельное путешествие за знаниями. Методика не требует обязательного выучивания таблицы умножения и правил вычислений – предполагается, что ребенок усваивает этот материал по ходу дела, в процессе свободного познания. И в самом деле, у талантливых, увлеченных педагогов дети действительно ухватывают математические концепции буквально «на лету», и математика вовсе не кажется им скучным предметом – в огромном количестве восторженных отзывов содержится одна и та же мысль: ребенку нравится, ребенок увлечен, оказывается, математика – это так интересно!

Ну, а если еще конкретнее – то курс Петерсон, по сравнению с требованиями Госстандарта, излишне нагружен информацией. Даже учителя, прошедшие специальную подготовку для работы по методике Петерсон, не в состоянии дать детям весь материал учебника и ряд тем – таких, как «Множества», «Числовой луч», «Дерево возможностей» — попросту оставляют без внимания (благо государственный стандарт не требует знания этих концепций). Разумеется, глубоко усвоить весь материал курса детям младшего школьного возраста попросту не по силам. В результате, на выходе получается итог, во многом даже более плачевный, чем при обучении по методике Моро: если большинство «моровских» детей к концу 4 класса обучается хотя бы сносно производить вычисления и измерения, не путая четное с длинным, то у многих «петерсоновских» детей к концу начальной школы в головах содержится такая каша, что учителям математики в начале средней школы приходится их в буквальном смысле слова «реабилитировать». В частности, отучать употреблять выражение «задача не имеет корректного решения» — в рамках курса арифметики этот ответ по меньшей мере абсурден, а в головах детей младшего школьного возраста он может произвести настоящую разруху. Почему? Напомню, что дети этого возраста мыслят конкретно, и для них органически близка точность и однозначность арифметических концепций. Попытка познакомить младших школьников с задачами, не имеющими корректного решения, за очень редким исключением, столь же провальна, как и попытка научить детей правописанию, используя фонематический подход. В результате мы имеем общее снижение знаний по обеим основным дисциплинам, и катастрофическое увеличение числа детей, не умеющих читать, писать без ошибок и совершать в уме простейшие вычисления.

Куда же бедному родителю податься?

С учетом всего вышесказанного, становится очевидным, что правильный подход к обучению математике найти можно, только интуитивно нащупывая некую золотую середину между малообоснованным в домашних условиях упрощением, с одной стороны, и чрезмерным усложнением, неоправданным без привлечения репетитора-математика.

Как найти эту золотую середину?

Как обычно, при помощи здравого смысла и наблюдательности.

В нашей семье применение этих двух «волшебных предметов» оказалось достаточным для того, чтобы сделать в процессе обучения следующие открытия:

1. в самом начале обучения действиям над числами нужно стараться как можно быстрее перейти от конкретных операций над предметами к абстрактным вычислениям в уме. На самом деле, ребенок от 7 лет и далее вполне способен овладеть основными арифметическими понятиями без опоры на так называемый «счетный материал» — палочки, монетки, пальцы рук и т.д. Такая конкретика, безусловно, необходима на занятиях с дошкольниками – но мозг ребенка младшего школьного возраста уже вполне развит для того, чтобы совершать основные арифметические действия без опоры на чувственные «костыли». Конечно, на первых порах ребенку будет проще считать на пальцах – однако следует останавливать его, если вы замечаете, что он это делает. Первый год обучения вообще по преимуществу следует отдать счету в уме, оставляя на письменные задания минимум времени, необходимый для подготовке к аттестации;

2.при обучении ребенка совершению математических действий с числами нет никакой необходимости делать перерыв между изучением первых двух действий – сложения и вычитания, и двух других – умножения и деления. Если ребенок уяснил, как числа складываются и вычитаются, он усвоит и принципы умножение с делением, в этом нет перехода на иной уровень абстракции. Поэтому со всеми четырьмя действиями имеет смысл ознакомиться на первом году обучения. (По такому принципу построен учебник Н. С. Поповой, который можно посмотреть на сайте «Старые учебники»;

3. при отработке примеров и задач на то или иное действие не имеет особого смысла ограничиваться строгими рамками того или иного разряда, и отрабатывать, к примеру, сложение или вычитание в пределах 10, 20, 100 и т.д. В школьной методике преподавания математики такие пределы установлены во многом искусственно, для получения «среднего арифметического» между уровнем способностей самого слабого и самого сильного ученика. В домашних условиях никакого смысла в таком ограничении нет – дома вы работаете один на один с вашим ребенком и поэтому нет нужды ориентироваться на что-либо, кроме его способностей. Поэтому, если у ребенка хорошо получается счет пределах какого-то разряда, нужно обязательно подкинуть ему несколько более сложных примеров, чтобы посмотреть, как он с ними справится: скажем, если ребенок «щелкает» примеры и задачи в пределах 20, обязательно введите в его «рацион» сначала примеры в пределах 100, а затем, если он и с ними справится – в пределах тысячи и т.д.: если правила совершения операций над числами усвоены, нет никакой принципиальной разницы, какой величины числа складывать, умножать или делить. Единственный предел тут – психологический барьер и объем памяти ребенка. Если, начиная с какого-то разряда, малыш начинает «буксовать», делать глупые ошибки – нужно вернуться назад и порешать более простые примеры и задачи;

4. учить таблицу умножения нужно обязательно, потому что без ее усвоения трудно добиться быстроты и легкости вычислений. Не стоит с этим тянуть – ребенок вполне способен на такой «подвиг» к концу 1 года обучения, в этом возрасте его память воистину бездонна и способна усваивать огромные объемы информации. На самом деле, выучить таблицу умножения лишь немногим сложнее, чем сложное длинное стихотворение (попутно стоит обратить внимание ребенка на простейшие закономерности таблицы умножения на 5 и на 9);

5. при письменном решении примеров следует как можно быстрее перейти к вычислениям в столбик — не позднее первой половины второго года обучения;

6. первые два года обучения следует посвятить всесторонней тренировке мышления ребенка через устный счет и письменное (в столбик) решение примеров и задач на все четыре действия в разных сочетаниях, в том числе со скобками; в этот же период следует познакомить ребенка с концепциями простых и составных чисел, с разложением чисел на простые множители, с признаками делимости числа; в области решения задач нужно познакомить ребенка со способом решения через уравнение с одним неизвестным;

7. в области измерений величин первые два года следует посвятить знакомству с всевозможными единицами измерения: длины, площади, объема, веса, времени, температуры, денег, а также правилами совершения арифметических действий с этими величинами; в эти годы в учебные занятия ребенка следует вводить задания, в которых он мог бы применять на практике полученные знания. В первую очередь это расчет времени и планирование своих действий; далее следует приучить ребенка к регулярным наблюдениям за температурой воздуха и проведению вычислений колебания температуры в течение определенных периодов времени (что способствует усвоению некоторых математических концепций, например среднего арифметического);

8. в области изучения геометрии следует не только изучать фигуры на плоскости, но и развивать пространственное мышление ребенка. Для этого сейчас существуют такие прекрасные тренажеры, как пространственные игры типа «Магнетика» и книжки по оригами. Сводить эти знания воедино необязательно, это дело следующих лет, а в первые годы обучения это можно делать бессистемно и для общего развития;

9. к началу третьего года обучения следует приступить к изучению обыкновенных дробей и действий с ними, а к концу третьего – началу четвертого года можно попробовать ввести понятие десятичных дробей и действий с ними;

10. если усвоение предыдущего материала происходит успешно и не вызывает серьезных затруднений, одновременно с изучением дробей в области целых чисел можно ввести понятие отрицательных чисел перейти к действиям с ними;

11. изучение новых тем должно сочетаться с постоянным повторением пройденного материала на все новом и более сложном уровне. При этом вы зачастую будете сталкиваться с ситуацией, когда ваш ребенок вдруг «забывает» прекрасно известный и давным-давно отработанный материал. Если такое случилось – нет никаких причин впадать в панику и гнев. У маленьких детей, чье абстрактное мышление еще не достаточно сформировано, такое происходит довольно часто. Вернитесь назад и посвятите несколько дней повторению «забытого» материала. Через некоторое время ребенок самопроизвольно «вспомнит» то, что якобы «забыл»;

12. к середине-концу четвертого года обучения курс арифметики вполне может быть проработан на уровне учебника Виленкина для 5-6 классов, а оставшееся время вполне разумно потратить на изучение начал алгебры.

Однако, главное – никуда не спешить, а, наоборот, отрабатывать каждую тему до автоматизма при помощи разнообразных задач и примеров, взятых из самых разных задачников – в этом смысле не стоит себе ни в чем отказывать – ни в том, чтобы «прорешать» раздел из Моро, ни в том, чтобы познакомиться с заданиями из Петерсон, ни в том, чтобы привлечь материалы старых учебников. Единственные правило, которого следует придерживаться при подборе заданий — это не мешать в одну кучу логические и математические задачи и не выдавать одни за другие, поскольку методики решения тех и других и ход мысли при этом могут довольно сильно различаться — примерно так, как отличаются друг от друга задача и тест. Первое требует нахождение однозначного решения по определенному алгоритму последовательно совершаемых действий (порядок действий при этом может меняться); второй решается путем перебора вариантов ответа и выбора наиболее подходящего. Безусловно, учить ребенка нужно как первому, так и второму – но развитием логического мышления следует заниматься совершенно отдельным образом. О том, как это делать на грамматическом этапе – читайте в следующей статье нашего цикла.

Наталья Геда.