О математике и школьной математике

Математика представляет собой довольно таинственное явление, ее происхождение и цель, также как происхождение и цель человечества, неизвестны. Эта наука лежит в основе технического прогресса, и поэтому довольно распространенным является мнение, что главная ценность заключена в ее практических приложениях. Это мнение, однако, не согласуется с тем обстоятельством, что наиболее яркие и впечатляющие результаты лежат в тех ее областях, которые максимально удалены от всяких практических приложений. Для такой древней науки, какой является математика, она очень динамична. В чем состоит динамика? Каждый профессиональный математик стремится получить как можно больше новых, неизвестных ранее результатов, и может показаться, что динамика математики в основном состоит в накоплении доказанных результатов. Такое накопление результатов действительно происходит, но более важной составляющей в динамике является изменение точки зрения, языка математики (в сторону его упрощения) изменение принятых обозначений и, наконец, изменение «моды», т.е. представлений о том, какие результаты являются более интересными, а какие менее интересными. Каждому отдельно взятому математику не так заметен прогресс в части накопления новых математических результатов, как заметна ему динамика в части переосмысления результатов уже известных. Часто важнейшие математические достижения, будучи впервые открытыми, излагаются неуклюже, потому что не найден еще подходящий язык и подходящие обозначения для этого. Позже либо сам автор, либо его коллеги излагают тот же результат более адекватно.

В первой половине двадцатого века важнейшей составляющей динамики математики являлось ее объединение. Всем известно, что имеются разные направления (или области): математический анализ, дифференциальные уравнения, алгебра, дифференциальная геометрия, уравнения в частных производных, теория функций комплексного переменного, топология, математическая логика и т.д. После середины ХХ века это подразделение на области начало носить условный характер: на самом деле математика едина и неделима в том смысле, что эти области тесно взаимосвязаны. Большинство наиболее важных математических результатов могут быть получены (или доказаны) только с использованием методов нескольких математических областей. Методы каждой области используются в других областях. До ХХ века такого единства математики не было. Тогда еще не умели применять методы одних областей в других областях. Символом, обозначившим это объединение, явился знаменитый доклад Давида Гильберта, прочитанный им на Математическом Конгрессе в 1900 году, в котором были сформулированы 23 Великие Проблемы из разных областей математики. Допуская некоторую неточность и условность, можно сказать, что до доклада Гильберта математика состояла из разных областей, которые были по существу разными науками, каждая из которых испытывала свою, независимую от остальных динамику. После доклада Гильберта все эти области объединились в одну науку, называемую математикой, динамика всех этих областей слилась в одну динамику математики. Схематически математику до ХХ века и после середины ХХ века можно изобразить так:

После середины ХХ века каждый достаточно сильный математик знаком в большей или меньшей степени с разными направлениями математики. Каким образом этим достаточно сильным математикам удается удержать в голове так много информации, чтобы быть знатоками не в одной, а многих областях математики? Это удается благодаря огромному прогрессу, достигнутому в первой половине ХХ века, в области упрощения языка математики, выбора оптимальных обозначений, обнаружению параллелизмов, когда две разные математические теории оказываются по существу двумя разными изложениями в разных обозначениях одной сущности. Объединившись, математика продолжает свое развитие как единое целое, и это объединение привело к значительному упрощению, она стала доступной гораздо большему числу людей.

И все-таки объединение произошло не совсем полностью, остались некоторые ее области, не принявшие участия в объединении. Поэтому более точным будет следующее схематическое изображение математики после середины ХХ века:

Два небольших бугорка справа от общего тела символизируют эти области, которые не приняли участия в объединении и стали по существу другими науками, имеющими с математикой некоторое сходство по причине родства, но со всех точек зрения эти неприсоединившиеся области удобнее считать другими науками, не относящимися к математике. У этих наук, как правило, другие основы, другой язык и другие представления о ценности результатов. Я не хочу сказать об этих науках ничего плохого, хотя я математик и люблю математику, но я не считаю, что все, что не является математикой суть плохое. И я надеюсь, что специалисты и энтузиасты этих наук не будут огорчаться или обижаться оттого, что я не причисляю их занятия к занятиям математикой.
Такой неприсоединившейся к объединенной математике наукой является так называемая теоретико-множественная (или общая) топология. Основные понятия топологии возникли с целью формализации понятия предела и в наиболее общем (аксиоматическом) виде были сформулированы еще в ХIX веке, но к середине ХХ века выделилась довольно большая группа специалистов, которые углубились в развитие общих понятий топологии до слишком большой степени. Они сосредоточились на различных парадоксах и интересных явлениях, к которым может привести аксиоматика топологического пространства, и не обращали внимания на то обстоятельство, что рассматриваемые ими экзотические топологические пространства не встречаются в других областях математики. В результате эта область оказалась в изоляции от остальной математики в том смысле, что результаты теоретико-множественной топологии не находили приложений в других областях и наоборот. Когда я был студентом мех-мата МГУ (1966 – 1971 годы) мне приходилось наблюдать некоторую напряженность в отношениях между математиками и теоретико-множественными топологами, доходящую до конфликтов. Вероятно, этих конфликтов не было бы, если бы математическая общественность осознавала, что теоретико-множественная топология не принадлежит математике, а представляет собой отдельную науку. Но такого осознания не было, математики и теоретико-множественные топологи работали на одном поле, но не могли понять друг друга. Такое положение дел приводило к некоторому вреду и опасности для студентов. Дело в том, что теоретико-множественная топология совершенно не представлена в обязательной программе изучения на мех-мате МГУ, это обстоятельство компенсировалось большим количеством спец-курсов и спец-семинаров по теоретико-множественной топологии, при этом только у теоретико-множественных топологов существовали спец-семинары, предназначенные для студентов первого курса. Фактически это означало, что теоретико-множественные топологи перехватывали наиболее способную молодежь, так как спец-курсы и спец-семинары среди студентов первого курса посещали только очень способные студенты. Если бы эти студенты знали тогда, что, начав посещать спец-семинар по теоретико-множественной топологии, они делают первый шаг в направлении отказа от избранной ими в качестве своей специальности науки, то они прекратили бы посещать такой семинар. Но они этого не знали! Ведь никто не мог им сказать, что теоретико-множественная топология замечательная наука, но это не математика.Другая наука, которая считается математикой, но на самом деле со времен Галилея и Декарта ей не является, это то, что излагается в средней школе под видом математики и называется «Элементарная математика». Мне больше нравится термин «Школьная математика», т.к. слово «элементарная» указывает на то, что она с одной стороны легкая для усвоения, а с другой стороны содержит основные элементы (т.е. основы). На самом деле ни то ни другое не верно, т.е. школьная математика довольно трудна и при этом в ней полностью отсутствуют основы математики. Последнее проявляется в том, что преподавание на математических факультетах вузов обычно начинается с нуля. Так же как и теоретико-множественная топология, школьная математика является замечательной наукой, и непоправимой ошибкой было бы эту науку потерять для человечества. Однако то обстоятельство, что ее ошибочно считают началом или основами математики, наносит, по моему мнению, огромный вред образованию и воспитанию подрастающей молодежи. Особенно поразительным, устойчивым и повсеместным является заблуждение, согласно которому школьную геометрию относят к основам математики. Между тем, все математически образованные люди прекрасно знают, что ничего похожего на школьную геометрию на математических факультетах вузов не преподают, а то, что математики называют геометрией, является совершенно другой наукой. Школьная геометрия представляет собой изложение Начал Евклида, которые были написаны (как это принято считать) в третьем веке до нашей эры. Говорят, что для своего времени это была гениальная математическая работа. Мне трудно судить о том времени, но очевидно, что для нашего времени, когда многие дети младших классов школы знают, что такое координаты точки, а некоторые дети, которые читали Жюля Верна, имеют даже представление о сферических координатах, то представление о нашем пространстве, которое создано аксиоматикой Евклида, неуклюже и нелепо. В современной математике евклидовым пространством называют линейное пространство, снабженное скалярным произведением.На то обстоятельство, что школьная математика уже более 300 лет назад перестала служить основами математики, обращали внимание многие. Классик французской математики Ж.Дъедонне в книге «Линейная алгебра и геометрия», изданной в русском переводе в 1972 году, очень ярко и эмоционально изложил свой взгляд по этому вопросу. Другой классик французской математики Эмиль Борель в докладе «Как согласовать преподавание в средней школе с прогрессом науки», прочитанном на Конгрессе по математическому образованию в Париже в 1914 году, обращает внимание читателей и слушателей на поразительный консерватизм преподавания в средней школе, причем в других школьных предметах такого консерватизма не наблюдается. Текст этого доклада в русском переводе опубликован в книге «Математика в образовании и воспитании» издательством «ФАЗИС» в 2000 году. Вот несколько цитат из этого замечательного доклада.«Нет ни одной отрасли в деятельности человека, которая не испытала бы на себе сильного влияния гения Галилея, Декарта, Ньютона и Лейбница. Я, впрочем, ошибся: нечто все-таки ускользнуло от этого влияния и осталось без изменений, ­- а именно, система преподавания математики в средней школе.»
«…Математика, преподаваемая в нашей средней школе, есть лишь схоластический пережиток, тогда как миром правит другая математика, и лишь очень малому числу избранных дано восторгаться гордой мощью этой науки. Но всякий образованный человек должен, по крайней мере, знать, что эта математика существует, а не воображать себе всех математиков вроде маньяков, проводящих дни и ночи за извлечением кубических корней.»
«В задачах по элементарной геометрии приходится пользоваться очень остроумными, подчас тонкими приемами, и тот, кто в своей молодости вкусил их прелесть, никогда их не забудет. Но сладость этих воспоминаний отнюдь не должна заслонять от нас того факта, что потраченная при этом работа столь же бесплодна, как и сложение 125 равных слагаемых».
Если не школьная математика, то что тогда могло бы претендовать на роль основ? Позволю себе нескромность перечислить темы, которые, на мой взгляд, должны быть изучаемы теми, кто хочет составить верное представление (если речь идет о тех, кто не собирается стать математиком), заложить правильные основы для дальнейшего изучения математики (если речь идет о тех, кто хочет сделать ее своей профессией) и научиться использовать математические приемы в жизненных вопросах, не связанных напрямую с математикой. Эта моя нескромность не слишком велика, если учесть, что я НЕ предлагаю включить перечисленные ниже темы в школьную программу.

Теория множеств: понятие множества, подмножества, понятие отображения двух множеств, инъективные, сюръективные и биективные отображения, образ подмножества при отображении и полый прообраз подмножества при отображении, дополнительные структуры на множестве: отношения эквивалентности, множество классов эквивалентности. Понимание того, что все математические объекты являются множествами с дополнительными структурами.
Алгебра: понятие группы, группа симметрий геометрической фигуры, группа биекций конечного множества на себя, понятие кольца и поля. Кольцо целых чисел и кольцо многочленов, простые числа, поле классов эквивалентности целых чисел по модулю простого числа. Алгебраические выражения, алгебраические преобразования. Уравнения с одним и несколькими неизвестными.
Топология: понятие метрического пространства, понятие предела, открытые и замкнутые множества. Понятие непрерывного отображения. Определение поля вещественных чисел на основе десятичных дробей.
Линейная алгебра: понятие линейного пространства, линейной функции и линейного отображения, понятие скалярного произведения, евклидова пространства, теорема Пифагора. Матрица линейного отображения. Образ и полный прообраз подмножеств при линейных отображениях. Группа вращений плоскости, понятие угла.
Анализ: функции и их графики, производные и интегралы, исследование функций на возрастание, убывание и экстремумы, площади и объемы фигур.
Комплексные числа: формула Эйлера, основные формулы тригонометрии.
Логика: понятие высказывания, операции \/, &, отрицания, булевы алгебры, кванторы всеобщности и существования, использование кванторов при определении предела и линейной независимости.

Общий объем перечисленных тем с точки зрения их изучения не превосходит, на мой взгляд, объема школьной программы по школьной математике (напоминаю, что я ни в малейшей степени не предлагаю включить перечисленные темы в школьную программу).
В начале ХХ века французские математики попытались изменить школьные программы по математике. Вот что об этом пишет в своем докладе Эмиль Борель: «Лишь в 1902 году некоторые математики предприняли в скромных размерах попытку изменения французских программ, полагая, что за двести лет «новые» идеи в достаточной степени доказали свою состоятельность и смело могут быть излагаемы молодежи. Это новшество многим показалось возмутительным, и споры о нем не прекратились до настоящего времени». В шестидесятые годы Андрей Николаевич Колмогоров организовал математическую школу-интернат и на базе этой школы начал серьезную работу над пересмотром школьных программ по математике. Эти грандиозные усилия Колмогорова представляются мне подвигом. Он многого добился в этом направлении: в школьные учебники были включены элементы векторной алгебры, а также основы анализа. И все же этот опыт Колмогорова следует признать неудачным: многие годы его «новшества» подвергались насмешкам. В 1990 году я написал небольшой учебник по линейной алгебре и в течение полутора лет преподавал линейную алгебру по этому учебнику детям седьмого класса 57 московской школы. Этот мой опыт с треском провалился. Ученики этого моего класса не могли понять, зачем им нужно тратить время и силы на изучение того, без чего так успешно обходятся ученики других классов и школ.

В чем секрет такой консервативности школьных программ по математике? Ведь программы других предметов не столь консервативны: по химии, например, в средней школе изучают периодическую таблицу Менделеева, хотя она была изобретена менее 150 лет назад. Почему же школьные программы построены на основе материала, возраст которого 25 веков? Этот вопрос ставил перед собой Эмиль Борель 90 лет назад: «Многое можно было бы сказать об этом возрастающем приспособлении различных учебных предметов к прогрессу науки и к эволюции человеческого общества. Однако я ограничусь наиболее интересным и особенно любопытным явлением – необыкновенно устойчивым характером преподавания математики». Теперь, после стольких неудачных попыток реформировать школьные программы по математике, мне кажется, я могу дать ответ на этот вопрос. Дело в том, что программы средней школы могут изменяться лишь очень медленно. Но медленного перехода от школьной математики к сформулированным выше основам не существует. Можно сказать (пользуясь языком гомотопической топологии), что школьная математика и сформулированные основы математики негомотопны. Утверждение об отсутствии плавного перехода от школьной математики к математике иллюстрируется приведенными выше условными картинками: между математикой и школьной математикой пропасть. Все делавшиеся до настоящего времени попытки реформировать программы приводили к сосуществованию в рамках одного предмета двух разных наук: математики и школьной математики. Неудачи этих попыток доказывают невозможность такого сосуществования. В самом деле, невозможность сосуществования в рамках одного предмета этих двух наук можно объяснить на простых примерах: в школьной геометрии доказательство пятого постулата невозможно, а в линейном евклидовом пространстве такое доказательство занимает одну строчку текста. В то время как для детей школьного возраста вообще не слишком удачным является аксиоматическое изложение любого материала, параллельное изложение одной сущности с точки зрения двух разных аксиоматик вообще является полным нонсенсом. Вот как обосновывает необходимость медленности эволюции школьных программ Эмиль Борель: «Медленный ход эволюции средней школы имеет также более глубокие и более серьезные основания. Лишь в редких случаях мы можем очень хорошо научить тому, чему не учились сами, когда были учениками; всякий прогресс школы может явиться лишь в результате последовательного ряда опытов очень многих учителей. Как бы интеллигентен ни был учитель, как бы он ни был предан своему делу, он не в состоянии заменить эту преемственность импровизацией и собственными силами построить столь сложный предмет, каким является цельное среднее образование». Доклад Бореля содержит и много других фрагментов, которые показывают, что он является безусловным сторонником очень медленной эволюции школьного образования, и с этим нельзя не согласиться. Однако аргументация Бореля в пользу медленности изменения школьных программ применима лишь к процессу введения в школьные программы нового материала и ничего не говорит о невозможности быстрого изъятия какого-то материала из школьных программ. В самом деле, что мешает нам единовременно изъять из школьных программ какой-то раздел или даже целиком какой-то предмет?
Мне представляется, что выход из того тупика, в который зашло школьное математическое образование, есть: нужно прекратить преподавание в средней школе математики (а точнее всего того, что называет себя математикой) вообще. Не навсегда, а примерно на одно поколение школьников, т.е. примерно на 10 лет. В этом случае место для математики в школе будет освобождено, и начнется медленная эволюция в направлении создания и внедрения в школьное образование новых программ, но это дело будущих поколений математиков и педагогов. Нам же не следует предвосхищать этого процесса и пытаться предсказать, какими будут эти программы. Какие последствия нас ожидают в случае реализации этого предложения? Первое главное и негативное последствие будет состоять в том, что школьные учителя потеряют работу. Это очень плохо, но не смертельно. Круг людей, потерявших свою работу и даже профессию в России в связи с переходом к капитализму, очень широк, и я принадлежу к этому кругу людей (см. начало статьи). В данном случае для школьных учителей огромным утешительным фактором, по крайней мере, будет служить то обстоятельство, что это делается ради детей и их будущего. Разумеется, государство обязано взять на себя обязательство продолжать выплачивать учителям математики их зарплату в полном объеме до окончания десятилетнего моратория на преподавание математики в школе. Другое негативное последствие реализации такого предложения состоит в угрозе полного исчезновения школьной математики, как науки, так как школа является той единственной базой, на которой существует и развивается школьная математика. Для предотвращения этой угрозы школьной математике следует придать статус самостоятельной науки с организацией всех тех институтов (вроде отделения РАН, научных институтов, кафедр в вузах и т.д.), которыми обладают другие науки, такие, как математика, физика, химия, география, история и др. Это приведет к безусловному усилению позиций школьной математики, т.к. статус науки, существующей только для изучения в школе, является унизительным, чем-то вроде «игрушечной детской науки».

Мне могут возразить: «Как же так, целое поколение школьников будет лишено математического образования!» Все поколения школьников всего Мира и так лишены математического образования. И если мы согласны с тем, что ничего не говорить лучше, чем говорить неправду, то мы должны согласиться, что ничего не преподавать лучше, чем преподавать под видом математики другую науку.
Пропасть между математикой и школьной математикой расширяется, плавной реформы математического образования в школе не существует, и то, что я предлагаю, рано или поздно придется сделать. Как всегда, в таких случаях раньше легче, чем позже: если нужно перепрыгнуть через расширяющуюся пропасть, то лучше не терять времени. Реформа школьного математического образования является проблемой всего Мира, а не только России, но Мир напуган событиями последних лет и защиту от страха видит в консерватизме во всех областях жизни. Благополучным и консервативным странам Европы и Америки трудно решиться даже на мелкую реформу.

Значительная часть интеллектуальной элиты человечества сосредоточена в России.
Россия провозгласила огромное количество реформ во многих областях жизни, но из общего числа провозглашенных реформ удаются лишь немногие. Сейчас реформу школьного математического образования в России провести легко, для этого требуется только мужество сделать неизбежное. Осуществив предлагаемую реформу, Россия усилит свое интеллектуальное лидерство в Мире и докажет, что может не только догонять, но и указывать верный путь.

Александр Харшиладзе.