Логика и математика на диалектическом этапе обучения

Подростковый возраст – время пышного расцвета всех интеллектуальных способностей ученика, в первую очередь – абстрактного мышления. Необходимым условием формирования такого типа мышления является способность сделать объектом своей мысли саму мысль. И именно в подростковом возрасте появляются все условия для этого.

В 11-12 лет у детей появляется желание иметь свою точку зрения, всё взвесить и осмыслить, потребность в раздумьях о себе и окружающих, в размышлениях о предметах и явлениях, в том числе о тех, что не даны в непосредственно-чувственном восприятии. Главная задача родителей на данном этапе обучения – в полной мере использовать эту естественную склонность своих детей к абстрактному осмыслению и упорядочиванию восприятий и впечатлений и приучить постоянно дисциплинировать свою мысль при помощи двух главных тренажеров абстрактного мышления – логики и математики.
Не формировать абстрактное мышление у подростков, не проводить его целенаправленный тренинг, значит не научить их по-настоящему мыслить, – а значит, по сути, остановить их умственное развитие. Об этом зачастую забывают родители, которые считают, что если у ребенка нет природной склонности к точным и естественным наукам, то не стоит перегружать его абстрактными дисциплинами. Это опасное заблуждение. Очевидно, что занятия математикой и логикой в особенности нужны детям с активным правым полушарием мозга – творческим личностям с буйной и недисциплинированной фантазией. Разумеется, я не призываю делать из музыканта или художника математика – да это и нереально. Я говорю лишь о том, что, при правильном подходе к обучению, абстрактные науки никак не помешают развитию творческого потенциала подростка – а, наоборот, будут способствовать ему. На наш взгляд, методология диалектического этапа обучения и является этим самым «правильным подходом». Попробуем разобраться, почему.

Особенности диалектического этапа обучения

Главное отличие диалектического этапа обучения от грамматического заключается в том, что основным методом обучения подростков, в отличие от обучения детей становится в эти годы диалог, а не монолог, и спор на основе критично воспринятого материала, а не само усвоение и некритичное его воспроизведение. Сам термин «диалектика» содержит в себе ключ ко всей методологии. Ведь в переводе с греческого языка он значит «искусство спорить, вести рассуждение». Следовательно, в основу метода на данном периоде обучения мы должны положить самое основное, и самое не приятное качество любого подростка в возрасте от 10 до 15 лет — его склонность к противоречиям, пререканиям и стихийным спорам (частенько – до драки) со своими сверстниками и старшими. То есть, перед родителями на данном этапе стоит нетривиальная задача: обратить в добро и пользу даже такие не самые легкие и приятные в общении свойства личности наших детей, как контрастность и антиномичность их восприятия и стремление противоречить взрослым по любому поводу. На самом деле, у родителей просто нет другого выбора, как именно это и сделать, потому что только путем постепенного окультуривания этого стихийного поведения подростков можно направить их формирующиеся волю и мышление в благом и продуктивном направлении. Если целенаправленно не учить подростков искусству диалектики, их способность спорить и отстаивать свою точку зрения не уйдет дальше уровня базарной перебранки с периодическим переходом к нецензурной брани и рукоприкладству.

Таким образом, главной целью обучения на диалектическом этапе обучения является обучение подростка культуре спора. Все без исключения предметы, изучаемые в эти годы, являются не более, чем специфическими методами, при помощи которых мы овладеваем разными аспектами основного предмета цикла – диалектики.

Разумеется, такой подход противоречит школьному подходу, который делает упор на изучение предметов, причем каждого по отдельности, практически без какого-либо построения перекрестных связей между ними. Школьная программа 5-9 классов игнорирует особенности мышления и поведения подростков данного возраста и, по большому счету, предлагает относиться к их обучению почти так же, как в начальной школе (сделав поправку на более высокий уровень абстракции, доступный их восприятию в эти годы). Школа предпочитает относиться к склонности подростков к спорам и критике как к изъяну дисциплины и дефектам воспитания, и либо смотрит на них сквозь пальцы, либо грубо подавляет. Что касается абстрактных дисциплин – то, увы, школьная администрация не усматривает никакой связи между глубиной их усвоения и дисциплиной в классе. А между тем, связь есть, и совершенно прозрачная: дисциплинирование ума неминуемо влечет за собой дисциплинированное поведение. Но никак не наоборот. Палочная дисциплина запретов, предписаний и электронных баз данных никак не может создать культуру мышления. Культуру мышления создает лишь глубокий и осмысленный диалог.

Роль логики на диалектическом этапе обучения

В основе диалектического этапа обучения должен лежать курс логики, который и подготавливает ребенка к наблюдению над своим мышлением, к постоянному труду над его развитием и усовершенствованием.

В программу средней школы курс логики не входит, однако родителей нешкольников это не должно останавливать. Каковы бы ни были требования школы, в которой вы проходите аттестацию, логика должна быть изучена безотносительно к школьным требованиям. Потому что именно курс логики помогает ребенку легко и естественно войти в мир множества сложных и, на первый взгляд, разрозненных дисциплин; увидеть в них общее и научиться применять для овладения каждой из них одни и те же формы мышления.

Основы формирования логического мышления должны быть заложены еще на грамматическом этапе обучения; каким образом — мы писали в специальной статье (https://school4you.ru/club/article70/). Однако в начале диалектического этапа обучения многочисленные разрозненные знания из курса логики, полученные в предыдущие годы, следует обобщить и структурировать.

Делать это проще всего на основании новейших учебных пособий для детей школьного возраста, разработанных коллективом авторов МГПУ под руководством профессора А. Д. Гетмановой:

• Занимательная логика для школьников, ч.1
• Занимательная логика для школьников, ч.2
• Задачник по занимательной логике для школьников

Желательно иметь в своем распоряжении весь комплект учебных материалов. Кроме того, самим родителям следует обновить и расширить свои знания по логике. Для этого родителям следует иметь в своем распоряжении учебники Гетмановой, рассчитанные на старших школьников или студентов:

• А. Д. Гетманова. Логика: 10-11 классы. Учебное пособие
• А. А. Ивин. Логика и теория аргументации:
• А. Д. Гетманова. Логика: Учебник для ВУЗов

и т.д.

Все учебники Гетмановой и других авторов, рассчитанные на старших школьников и студентов, следует использовать для обучения младших подростков, в качестве дополнительного материала, расширяющего базовый курс «Занимательной логики» (поскольку некоторые темы в этой книге изложены недостаточно ясно и не исчерпывающе подробно).

Когда начинать систематические занятия логикой?

Учебник Гетмановой рассчитан на учеников 4-5 классов, и, хотя она пишет, что им могут пользоваться и более старшие школьники и даже студенты, очевидно, что оптимальный возраст для получения систематических знаний по логике – это 10-11 лет, то есть, 4 и 5 классы общеобразовательной школы. На самом деле, курс «Занимательной логики» может быть достаточно легко усвоен и за год (если есть такая потребность), однако специально стремиться к этому не нужно. Содержание курса логики прекрасно разбивается на два года и, является , с одной стороны, вершиной грамматического этапа обучения, позволяя обобщить все полученные на первом этапе знания на новом уровне абстракции, а с другой стороны – основой нового, диалектического этапа, раскрывая его особенности и вводя в его инструментарий.

Так, в содержание первого года обучения входят такие основополагающие темы курса логики, как:

• Предмет логики,
• Понятие,
• Суждение,
• Законы (принципы) правильного мышления,
• Умозаключение,
• Искусство доказательства и опровержения.

Усвоив теоретический и практический материал данного курса, дети никогда не будут иметь проблем с определением понятий и формулировкой терминов, а также с заучиванием правил и формул: он будет понимать, что это такое, зачем они нужны и почему они должны быть такими. Это очень важно: ведь, на самом деле, зачастую очень многие проблемы обучения в средних классах начинаются с элементарного непонимания ребенка, что такое «понятия» и «термины» и последующей неспособности точно запоминать правила и формулы. Курс логики позволяет ребенку познакомиться с формами мышления как таковыми и как следует изучить закономерности их существования. К концу первого года обучения ребенок усваивает принципы правильного мышления и начинает активно их применять на новом, диалектическом этапе обучения.
На втором году обучения подростку предлагается познакомиться с такими темами, как:

• Индуктивные умозаключения и его виды.
• Аналогия. Виды аналогий.
• Опровержения. Логические ошибки, встречающиеся в доказательстве и опровержении.
• Парадоксы и софизмы.
• Гипотеза. Виды гипотез.

Как видим, на втором году обучения подростки получают полный объем информации, необходимой для формирования диалектического метода познания. Освоив курс логики, ученик получает полный набор сведений о правилах ведения корректной в интеллектуальном отношении дискуссии и может считаться готовым к ведению таковых на любые темы, которые в изобилии возникают в процессе изучения многочисленных предметов школьной программы. А дополнительным и очень существенным плюсом курса «Занимательной логики» А. Д. Гетмановой (впрочем, как и любых других ее курсов) является привлечение в качестве иллюстративного материала многочисленных примеров из разных предметных областей, что позволяет на вполне конкретном и наглядном уровне простроить недостающие межпредметные связи между школьными дисциплинами.

Математика на диалектическом этапе обучения

Общие соображения

Как правило, именно математика является главным пугалом для родителей, задумывающихся о переводе ребенка на домашнее обучение. Большинству родителей возможность успешного самостоятельного изучения математики в домашних условиях кажется совершенно нереальной, и все, на что они могут решиться – это изучение основ арифметики для начальной школы.
Между тем, если знакомство с арифметикой на грамматическом этапе обучения прошло благополучно, можно быть уверенным, что и более сложный курс будет усвоен также успешно. Родителям, чьи дети учились дома « с нуля», безусловно, будет проще организовать занятия математикой и на новой ступени. За несколько лет самостоятельных занятий такие дети уже получили основные навыки самообразования и, при консультативной помощи родителей или, в особо сложных случаях – учителей (репетиторов) они вполне в состоянии успешно двигаться вперед по школьной программе.

Сложнее придется родителям, которые принимают решение о переводе ребенка на домашнее обучение после нескольких лет учебы в школе. Школьники крайне зависимы от объяснения учителя и практически не имеют навыков самообразования. Поэтому для них резкий переход от школьной методики преподавания к совершенно иной методологии бывает очень болезненным и чреватым серьезным снижением успеваемости. Родители таких детей должны понимать эту проблему и специальным образом организовать для них «переходный процесс», который постепенно «снимет» зависимость школьников от объяснений педагога. На самом деле, эта зависимость сформирована во многом искусственно: современные учебники математики построены таким образом, что ученик не в состоянии усвоить материал самостоятельно (слишком большой объем информации по теме намеренно пропущен и может быть восполнен только в классе, через объяснение учителя). Таким образом, недостаток объяснений со стороны учителя может быть в значительной мере устранен через вдумчивый подбор учебных пособий и пояснение методов работы с ними. Подробнее о содержании «переходного периода» будет сказано ниже.

Многие родители учеников средних классов склонны решать проблемы с математикой через привлечение репетиторов. С одной стороны, это вполне разумно, особенно, если у родителей есть свободные деньги. С другой стороны репетитор репетитору рознь: один специально строит занятия таким образом, чтобы сформировать у ученика зависимость от своего руководства, другой, наоборот, старается привить ученику вкус к самостоятельным размышлениям и поискам оптимальных решений получаемых в их ходе задач. Очевидно, что для решения задач домашнего обучения разумно привлекать репетиторов второго типа, а при их отсутствии – ставить перед привлекаемыми специалистами именно такую задачу: сформировать у ребенка умение самостоятельно заниматься математикой.

Возможно ли добиться такого результата со всеми учениками? Или, все-таки, есть исключения?
По нашему мнению, овладение основными математическими концепциями в объеме школьного курса возможно для абсолютного большинства учеников обоих полов (исключая разве что немногочисленные случаи детей с органическим поражением левого полушария мозга). Такой результат становится возможным благодаря использованию одного из двух подходов к изучению математики.

Два подхода к изучению математики на диалектическом этапе

Первый подход к изучению математики следует назвать логическим. В рамках такого подхода подростку тем или иным способом демонстрируют ход математической мысли, которая приводит к тем или иным выводам, к формированию математических понятий, суждений, умозаключений, формулировке правил, выводу формул. Если подросток в состоянии ухватить смысл демонстрации, проследить цепь рассуждений, не упустив ни одного звена, и воспроизвести их, опираясь на понимание, а не простое запоминание – это значит, что он или она – логик по преимуществу. Таким ученикам нужно подбирать теоретический и практический материал таким образом, чтобы он наилучшим образом демонстрировал изучаемую концепцию в конечном, синтетическом виде, без промежуточного нудного разжевывания. К этому типу учеников относятся левополушарные дети, в первую очередь – мальчики.
Второй подход к изучению математики мы считаем необходимым назвать лингвистическим. Этот подход предполагает, что математику можно изучать и усваивать при помощи приемов, аналогичных некоторым приемам изучения иностранного языка. В самом деле, если исходить из истинной посылки о том, что математика представляет собой особый язык, который можно изучить также, как все прочие языки, то последующие дидактические приемы становятся гораздо более прозрачными, даже для родителей правополушарных детей (особенно девочек – музыкантш и художниц). При данном подходе мы изучаем математические факты как грамматические конструкции или нормы, и учимся употреблять их также, как учимся употреблять новые грамматические конструкции того или иного языка: правда, нужно понимать, что из всех возможных языков математика – самый точный. Да, лингвистический подход не формирует интуитивного понимания, но он дает возможность заучить, произвольно усвоить то, что не поддается пониманию, довести навык до автоматизма.

Посредством такого метода абстрактное мышление все равно будет развиваться, хотя, скорее всего, его результаты никогда не будут такими яркими и блестящими, как в первом случае. С другой стороны, как мы уже неоднократно говорили, главным результатом при изучении математики должно считаться развитие абстрактного мышления, в первую очередь – способности к отвлечению от конкретики той или иной частной ситуации, умения соединять множество конкретных ситуаций в одном обобщении и делать из него корректные выводы, а также умения строить абстрактные модели различных процессов из ряда множеств конкретных ситуаций. Если подросток научился всему этому – можно быть уверенным, что курс математики усвоен, даже если в своей дальнейшей практической деятельности он никогда больше не прибегнет к математическим методам.

На самом деле, в практике домашнего обучения всегда найдется место для обоих описанных подходов: лингвистический подход весьма полезен для повторения и систематизации знаний учеников с любым уровнем знаний.

Что касается логического подхода, то его полезно время от времени применять не только по отношению к «продвинутым» левополушарным ученикам, но и к более ограниченным в своих возможностях правополушарным. Например, очень продуктивно бывает посмотреть вместе с такими детьми научно-популярные фильмы, посвященные практическим приложениям популярных математических концепций. Примеры таких увлекательных фильмов для семейного просмотра можно увидеть здесь: http://www.1-film-online.com/?cat=458. Как правило, просмотр таких фильмов подхлестывает воображение «правополушарников», и помогает им легче переносить рутину практических занятий по математике.

Составные части курса математики на диалектическом этапе обучения

Родители домашних детей могут себе позволить не разбираться в математике в деталях. Но знать объем курса математики за 5-9 классы и представлять, в каком классе какой именно материал должен быть изучен и сдан, они просто обязаны.
Первое, что следует уяснить, что курс математики в средних классах общеобразовательной школы включает в себя такие разделы, как:

• Арифметика (5-6 классы): действительные числа (корни квадратные и кубические) и действия с ними; иррациональные числа и действия с ними; проценты; пропорции.
• Алгебра (7-9 классы): алгебраические выражения; уравнения и неравенства с переменными показателями; числовые последовательности; числовые функции; координаты и графики, основы тригонометрии.
• Геометрия (7-9 классы): начальные понятия и теоремы геометрии; треугольник; четырехугольник; многоугольники; окружность и круг; измерения геометрических величин; векторы.
• Более детально курс обучения математике в средней школе изложен в «Стандарте основного общего образования по математике»

В изучении математики, так же, как и в изучении языка, главным принципом является последовательность усвоения всех элементов курса. Пропуск или недостаточно четкое усвоение хотя бы одного элемента приводит к тому, что последующий материал также не усваивается должным образом. Поэтому главным принципом построения домашних уроков математики является постоянный контроль результатов с обязательным возвращением на те этапы курса, к которым будут относиться выявленные ошибки. Такой контроль желательно устраивать не реже, чем раз в неделю.
Что касается повседневных занятий по математике, то основных принципов их организации семь:

Каждый учебный день должен начинаться с урока математики.
Раз – два в месяц полезно бывает весь учебный день посвящать одной лишь математике.
Каждый урок должен включать в себя изучение новой темы и блок повторения смежных с ним предыдущих тем.

Урок должен включать в себя как дословное заучивание теоретического материала или хода доказательства той или иной теоремы, так и решение практических задач и примеров применения усвоенного материала, как в отдельности, так и с элементами прежде изученных тем. Особо хотелось бы подчеркнуть важность заучивания наизусть, которым так часто пренебрегают современные родители (и, тем более, их дети): без этого приема обучения никакие серьезные успехи в математике невозможны. Следовательно, результаты самостоятельного изучения материала должны быть не только письменными (в виде решенных примеров, задач и т.д., но и устными. Ученик должен уметь не только повторять определения и правила, но и объяснять, откуда они вытекают, на основании каких предыдущих сведений они сформированы. Стоит помнить базовый принцип в изучении математике: то, что, несмотря на все усилия, не удается понять, все равно необходимо заучить и научиться бегло использовать (именно этот принцип «работает» и в изучении иностранных языков).

Еженедельный контроль результатов изучения новых тем должен приводить, в случае выявления проблем, к прекращению продвижения вперед по материалу курса и возвращению на один из более ранних этапов.

Если ученик не усваивает материал к аттестации, родителям следует договариваться с администрацией школы о переносе аттестации на более поздний срок и удваивать время, отведенное на занятия математикой. То есть, недопустимым следует считать подход «пройти столько-то параграфов учебника к аттестации», безотносительно к результатам такого усвоения. Если материал не усвоен, его нельзя сдавать. Не только потому, что оценка будет низкой; главным образом с воспитательной целью: подросток должен понять, что в учебе недопустимы попытки «проскочить на авось», обмануть или перехитрить учителя, выехать на шпаргалках.

Если ребенок перешел на домашнее обучение после нескольких лет обучения в школе, его следует в первую очередь оттестировать, чтобы оценить уровень его знаний и объем пробелов в этих знаниях. Затем следует составить программу повторения пройденного, которая бы позволила ученику восполнить пропущенные сведения. Помочь подростку усвоить эту программу должны родители или репетиторы.

Учебники математики для домашнего обучения

В связи со всем сказанным выше понятно, что для домашнего обучения подходят далеко не все учебники, которые используются в современной школе. В частности, стандартный учебник алгебры 7-9 классов Ш. А. Алимова, Ю.М. Колягина, Ю. В. Сидорова и др., который используется в подавляющем большинстве школ, подходит для наших целей весьма относительно. Дело в том, что теоретический материал в этом учебно-методическом комплексе изложен крайне сжато и с большими пробелами, которые могут восполнить только объяснения учителя. Поэтому родителям, заинтересованным в реальных успехах своих детей в области математики, стоит присмотреться к некоторым другим комплектам учебников, появившихся в продаже в последние год-два.

В первую очередь, следует обратить внимание на комплект учебно-методических материалов по Алгебре (7-9) , разработанных А. Г. Мордковичем и коллективом авторов
Принципиальное отличие этого курса от стандартного заключается в том, что учебник и задачник в нем представлены отдельными книгами. Причем учебник являет собой именно книгу для чтения, рассчитанную на самостоятельную работу со стороны ученика. Материал изложен подробно и вдумчиво – быть может излишне подробно для школьника, у которого есть учитель – но в случае обучения дома это превращается в явное преимущество. Ценно и то, что каждая тема заканчивается обзором изученного, расставляющим акценты в пройденном материале. Что касается задачника, то он ценен не только качественным подбором примеров, сгруппированных по принципу «от простого – к сложному», но и наличием материалов для самопроверки (каждую тему завершает «Домашняя контрольная работа»).

Кроме того, безусловно, интересным новшеством является комплекс учебников М. И. Башмакова от издательства «Просвещения». Это – новая разработка, недавно аннотированная в сети. В нашей практике учебник не использовался, но принципы подхода к изложению материала, описанные на рекламной странице, представляются нам заслуживающими внимания – в первую очередь привлекает модульность (разбиение материала на отдельные «уроки» усваиваемые за одно занятие и сопровождаемые упражнениями для отработки изученного материала).

В области изучения геометрии родителям нешкольников стоит обратить внимание на интересный пропедевтический (подготовительный) курс И. Ф. Шарыгиной и Л. Н. Ерганжиевой «Наглядная геометрия». Учебник, построенный по принципу научно-популярных книг, рассчитан на формирование познавательного интереса в области геометрии, а также «на развитие геометрической интуиции, пространственного воображения, глазомера, изобразительных навыков» (см. аннотацию). Для более углубленного изучения геометрии в 5-6 классах прекрасно подходит учебник геометрии В.А. Гусева. Он дает все необходимые предварительные понятия о геометрии, причем не только на плоскости, но и в пространстве, направлен на развитие геометрической интуиции и пространственного мышления.

Учебно-методическая литература и обучающие видеоматериалы по курсу математики 5-9 классов

Для того, чтобы успешное продвижение по курсу математики 5-9 класса было возможным, необходимы дополнительные материалы. Как уже говорилось, стандартные школьные учебники не позволяют получить нормальную подготовку в области математики, потому что большая часть информации, необходимой для беспроблемного усвоения курса в домашних условиях, в них отсутствует. Поэтому родителям следует подобрать дополнительные материалы (книги, компьютерные программы, видеокурсы), которые помогли бы ребенку восполнить пробелы и пропуски, неизбежные в структуре любого учебника.
Среди таких материалов в первую очередь следует обратить внимание на такие, как:

Никольская И. Л, Семенов Е. Е. Учимся рассуждать и доказывать: кн. для учащихся 6-10 классов сред. шк. – М.: Просвещение, 1989

К сожалению, эта книга больше не переиздавалась и потому сейчас может быть приобретена только на сайтах, торгующих старыми книгами.
Поэтому единственное, что можно порекомендовать в данном случае – заказать эту книжку в библиотеке. Оно того стоит: с ее помощью вы сможете легко, в ходе нескольких занимательных уроков, пояснить ученику 6 класса связь между курсами логики и математики, продемонстрировать применимость логических законов на математическом материале.

А. Киселев. Элементы алгебры и анализа ( в 2 частях) + сборники задач к ним

Именно это учебное пособие рекомендуется использовать при любых сложностях и непониманиях материала основного курса, изложенного в учебнике. В данном курсе все объяснения даются детально, без пропусков промежуточных элементов.

А. Киселев. Элементарная геометрия + Н. Н. Никитин. Геометрия для 6-8 классов

Учебники, которые считает лучшими известный еще с советского времени своими замечательными результатами в обучении школьников математике заслуженный педагог В. Ф. Шаталов.

Книги и видеокурсы В. Ф. Шаталова по алгебре и геометрии (в первую очередь может быть рекомендованы родителям – для учеников средней школы сложновато):

— «Алгебраические волны»
— «Геометрия в лицах»,
— «Фамильная геометрия»,
— «Геометрия, 7 класс ( в 3 частях),
и другие учебные материалы того же автора, которые можно либо заказать на сайте школы Шаталова, либо скачать для ознакомления из сети при помощи торрент-трекера.
Значение разработок В. Ф. Шаталова, знаменитого еще со времен СССР украинского учителя-новатора, в области изучения точных и естественных наук трудно переоценить: этот педагог дает не методику быстрого натаскивания ученика на экзамен, а метод приобщения к культуре абстрактного мышления. Применяя разработанные Шаталовым методы изучения точных и естественных наук (в первую очередь, метод опорных конспектов, опорных схем), ученики на домашнем обучении могут добиться ничуть не меньших успехов, чем школьники, обучающиеся у лучших школьных преподавателей.

Я. И. Перельман. Живой учебник геометрии

Еще один учебник по геометрии, который стоит использовать в домашнем обучении, наряду учебником Киселева.

Я. И. Перельман. Занимательная алгебра. Занимательная геометрия

Книга замечательного советского ученого-популяризатора точных и естественных наук , которую обязательно следует использовать в домашнем обучении как для пробуждения интереса к математическим концепциям, так и для привития вкуса к решению нетривиальных и остроумных задач, значительно углубляющих и расширяющих познания ученика в обоих предметных областях.

Заключение

Главное и поистине неоценимое свойство математики – ее точность. Лингвистический подход при изучении математики учит подростков рассматривать математику как особый язык, на котором можно изложить свои мысли относительно действительности максимально точно и понятно для каждого человека, знакомого с математической символикой. Это свойство математики – однозначность и недвусмысленность сформированных с ее помощью умозаключений – ставит эту науку на совершенно особое место. Особенно ценить это свойство математики следует гуманитариям, для которых такая точность мысли в изложении материала зачастую бывает труднодостижимой. Тем не менее, красивая и краткая математическая формула всегда должна оставаться идеалом, к которому следует стремиться мыслителям и исследователям в любой, даже самой конкретной (или самой творческой) предметной области.

Наталья Геда.